Die Welt der Mathematik erlebt einen außergewöhnlichen Meilenstein: Ein Forscher hat eine Methode entwickelt, die eine jahrhundertealte Herausforderung der Algebra neu definiert. Die Rede ist vom Problem der Lösung höhergradiger Polynomgleichungen, das seit Jahrhunderten Wissenschaftler vor komplexe Aufgaben stellt. Polynomgleichungen beschreiben mathematische Ausdrücke, in denen eine Variable mit verschiedenen Potenzen auftaucht – vom einfachen Quadrat bis hin zu Potenzen von fünf oder noch größer. Während Lösungen für Gleichungen zweiten, dritten oder vierten Grades bereits seit Jahrhunderten bekannt sind, blieben die allgemeingültigen Lösungswege für Gleichungen höherer Ordnung ein ungelöstes Rätsel. Jetzt meldet sich ein Mathematiker der Universität New South Wales mit einem revolutionären Ansatz zurück, der neues Licht auf dieses fundamentale mathematische Problem wirft.
Das Herz der algebraischen Herausforderung liegt in der sogenannten radikalen Lösung. Seit der Antike bauten Werkzeuge zur Lösung von Gleichungen auf Wurzeln und irrationalen Zahlen auf. Bereits die Babylonier entwickelten Methoden zur Bearbeitung quadratischer Gleichungen, die sich über das Mittelalter weiterentwickelten und die Mathematik nachhaltig beeinflussten. Im 19. Jahrhundert stellte der französische Mathematiker Évariste Galois jedoch mit seiner Galoistheorie klar, dass es für Polynomgleichungen fünften oder höheren Grades keine allgemeine Formel auf Basis der klassischen Wurzeln und Radikale geben kann.
Diese Erkenntnis schien damals die Weiterentwicklung auf diesem Gebiet zu stoppen. Ein zentraler Kritikpunkt des neuen Ansatzes ist das Konzept irrationaler Zahlen, deren Dezimaldarstellungen unendlich und nicht periodisch sind. Sie können weder exakt dargestellt noch vollständig berechnet werden. Die Annahme ihrer Existenz als „fertige“ Objekte ist mathematisch problematisch, weil sie ein unvollendetes, unendliches Element voraussetzt. Der Mathematiker hinter der jüngsten Entdeckung, Professor Norman Wildberger, lehnt die Nutzung solcher irrationalen Konzepte ab.
Er argumentiert, dass die klassische Nutzung von Radikalen und irrationalen Zahlen auf unpräzisen Vorstellungen von Unendlichkeit beruht, die logische Widersprüche erzeugen können. Im Gegenzug setzt Wildberger auf Zahlensequenzen und Reihen, die polynomiell erweiterbar sind und auf endlichen, klar definierbaren Operationen basieren. Seine Methode vermeidet Wurzeln und irrationale Zahlen vollständig und verwendet stattdessen „Potenzreihen“ – unendliche Reihen, die die Variable unter stetiger Erweiterung abbilden. Diese lassen sich aber gezielt abschneiden, um annähernd exakte Lösungen zu erhalten, ohne sich auf unvollendete, nicht greifbare Größen zu stützen. Gemeinsam mit dem Informatiker Dr.
Dean Rubine veröffentlichte Wildberger diese Erkenntnisse kürzlich in einem Fachartikel, der in der renommierten amerikanischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly erschien. Eine wichtige Grundlage seiner Arbeit sind sogenannte kombinatorische Zahlenfolgen, insbesondere Vorläufer der sogenannten Catalan-Zahlen. Diese Zahlenfolge ist in der Mathematik bekannt für ihre enge Verknüpfung mit polygone Strukturen und zählt etwa die Anzahl möglicher Zerlegungen von Vielecken in Dreiecke. Catalan-Zahlen finden heute breite praktische Anwendung, von Computeralgorithmen über die Bioinformatik bis hin zur Spieltheorie. Wildbergers Innovation liegt in der Übertragung dieses Prinzips auf höherdimensionale und komplexere Zahlenmuster, die er als „Geode“ bezeichnet.
Dieser Begriff beschreibt ein neuartiges Zahlenarray, das klassische Catalan-Folgen erweitert und vielfältige neue mathematische Strukturen offenlegt. Dank dieser „Geode“-Strukturen eröffnen sich neue Wege bei der Lösung von Gleichungen höheren Grades – sogar Quintik-Polynome können nun mit diesem Ansatz erfolgreich bearbeitet werden. Laut Wildberger stellt dies eine fundamentale Revision der algebraischen Geschichte dar, da sie eine lange für „geschlossen“ geltende Fragestellung wieder zugänglich macht. Gleichzeitig hat diese Lösung nicht nur theoretischen Wert, sondern besitzt großes Potenzial für praktische Anwendungen in der technischen Mathematik. Moderne Computersysteme könnten künftig Algorithmen nutzen, die auf diesen rationalen Serien basieren, um umfangreiche Gleichungssysteme zuverlässig und effizient zu lösen.
Über die unmittelbare Anwendung hinaus ist der „Geode“ ein vielversprechendes Forschungsfeld. Es eröffnet die Möglichkeit, die dort entdeckten Strukturen weiter zu erforschen und neue Konzepte zu entwickeln, die die Tiefen kombinatorischer und algebraischer Mathematik neu ausloten. Wildberger prognostiziert, dass diese Entdeckung eine aufregende langfristige Erforschung nach sich ziehen wird, die Mathematiker weltweit vor spannende Aufgaben stellt. Die Bedeutung dieses Durchbruchs ist weitreichend. Polynomgleichungen sind ein zentrales Werkzeug, das in vielen Wissenschaftsbereichen Anwendung findet – von der Beschreibung physikalischer Bewegungen wie der Bahnen von Planeten über Optimierungsprobleme bis hin zur Programmierung von Computeralgorithmen.
Die Möglichkeit, diese Gleichungen nun mit einer neuen mathematischen Sprache und Technik anzugehen, verspricht Fortschritte in zahlreichen Disziplinen. Zudem illustriert Wildbergers Arbeit einen wichtigen philosophischen Aspekt der Mathematik: Die Art und Weise, wie mathematische Objekte definiert und angenommen werden, kann den gesamten Entwicklungspfad eines Fachgebiets beeinflussen. Zusammenfassend zeigt sich, dass die klassische Annahme, mathematische Objekte wie irrationale Zahlen oder Wurzeln seien vollständig und exakt definiert, einer radikalen Neubewertung bedarf. Wildbergers Ansatz beweist, dass durch alternative Konstruktionen wie die Verwendung spezieller Zahlensequenzen und Potenzreihen bislang unzugängliche Bereiche der Algebra erschlossen werden können. Die Rückkehr zu einer „rationalen“ Sichtweise der Mathematik stellt dabei nicht nur eine technische Neuerung, sondern auch eine tiefgreifende philosophische Änderung dar.
Mathematik bleibt ein lebendiges Feld, in dem jahrhundertealte Zweifel und scheinbar unlösbare Probleme durch kreative Innovationen und neue Perspektiven gelöst werden können. Die Arbeit von Norman Wildberger und Dean Rubine ist ein herausragendes Beispiel dafür, wie alte Grenzen durchbrochen und neues Wissen geschaffen wird. Es bleibt spannend, welche weiteren Erkenntnisse in den kommenden Jahren aus dem neuen Zahlenarray „Geode“ hervorgehen und wie sich diese Entwicklung auf die Wissenschaften auswirken wird.
