Quantencomputing hat sich in den letzten Jahrzehnten von einem theoretischen Konzept zu einem der vielversprechendsten Forschungsfelder der Informatik und Physik entwickelt. Die Fähigkeit von Quantencomputern, bestimmte Berechnungen drastisch schneller durchzuführen als klassische Computer, hat das Potenzial, verschiedene Bereiche grundlegend zu verändern — von der Kryptographie über die Materialwissenschaft bis hin zur Pharmaentwicklung. Ein zentraler Bestandteil dieser revolutionären Leistungsfähigkeit ist das sogenannte Verborgene Untergruppenproblem, im Englischen Hidden Subgroup Problem (HSP) genannt. Dieses Problem verbindet einige der berühmtesten Quantenalgorithmen miteinander, darunter Shors Algorithmus zur Faktorisierung großer Zahlen und Simons Algorithmus. Das Verständnis des HSP ist somit ein entscheidender Schritt, um die Funktionsweise und den Einsatz von Quantencomputern besser zu erfassen und ihre Potenziale optimal zu nutzen.
Das Verborgene Untergruppenproblem lässt sich formal als ein mathematisches Problem auf endlichen Gruppen definieren. Die Grundidee besteht darin, eine unbekannte Untergruppe einer Gruppe anhand einer Funktion zu identifizieren, welche diese Untergruppe auf eine bestimmte Weise „verbirgt“. Genauer gesagt, ist eine Funktion von einer Gruppe zu einer Menge gegeben, die auf den sogenannten Nebenklassen der gesuchten Untergruppe injektiv ist. Das heißt, alle Elemente, die zur gleichen Nebenklasse gehören, werden durch die Funktion auf denselben Wert abgebildet, während verschiedene Nebenklassen unterschiedliche Funktionswerte hervorbringen. Das Ziel besteht darin, diese versteckte Untergruppe effizient zu bestimmen, indem man möglichst wenige Auswertungen der Funktion nutzt.
Warum ist das relevant? Weil viele Probleme der Informatik, die als schwierig gelten, eine solche Struktur besitzen. Zahlenfaktorisierung, diskrete Logarithmen und auch Simon's Problem sind bemerkenswerte Beispiele, die alle als spezielle Instanzen des HSP betrachtet werden können. Klassisch betrachtet benötigen viele dieser Aufgaben exponentielle Zeitaufwände, was sie für große Eingaben praktisch unlösbar macht. Quantenalgorithmen schaffen es hingegen häufig, diese Probleme mit deutlich effizienteren Methoden anzugehen, was zu exponentiellen Geschwindigkeitsvorteilen führt. Simon’s Problem ist ein faszinierendes Beispiel für ein Problem, das mit einem Quantencomputer signifikant schneller gelöst werden kann als mit klassischen Rechnern.
Dabei handelt es sich um eine Funktion, die auf Bitstrings funktioniert und ein paarweise gematchtes Verhalten aufweist: Für einen geheimen Bitstring s gilt, dass f(x) = f(x') genau dann, wenn x' = x oder x' = x ⊕ s. Klassisch erfordert dies beinahe exponentiellen Aufwand, da man zwei Eingaben finden muss, die die gleiche Ausgabe erzeugen — ein Szenario, in dem die sogenannte Geburtstagsparadoxon-Analyse zu einer Schranke von etwa 2^(N/2) führt. Simon’s Algorithmus nutzt jedoch quantenmechanische Superpositionen und Interferenzeffekte, um in einer linearen Anzahl von Schritten den verborgenen String s zu bestimmen. Das ist ein ortsverändernder Fortschritt und ein Beleg für die Macht des Quantencomputings. Auch die diskreten Logarithmen, die der Grundlage von vielen kryptographischen Systemen wie Diffie-Hellman-Key-Exchange bilden, lassen sich als HSP formulieren.
Hierbei arbeitet man auf der Gruppe der Einheiten modulo einer Primzahl p, wobei ein primitiver Erzeuger g und ein Element x gegeben sind und das Ziel ist, s zu finden, so dass x = g^s (mod p) gilt. Das Finden von s, dem diskreten Logarithmus, ist in der klassischen Welt zwar möglich, jedoch ohne bekannte effiziente Algorithmen. Mit der HSP-Formulierung und Shors Algorithmus gelingt es dem Quantencomputer, dieses Problem exponentiell schneller zu lösen. Die Methode konstruiert eine Funktion mit versteckter Untergruppe, deren Analyse auf einem Quantencomputer erlaubt, s effizient zu rekonstruieren. Die zentrale Technik im Umgang mit dem Verborgenen Untergruppenproblem ist der sogenannte Standardansatz, der eng mit dem Quantum Fourier Transform (QFT) verknüpft ist.
Der Standardansatz beginnt damit, eine Gleichsuperposition aller Elemente der Gruppe herzustellen. Durch Anwendung der Funktion und darauffolgende Messung erhält man sogenannte Nebenklassenzustände, welche Überlagerungen der jeweiligen Untergruppenelemente sind. Diese Zustände enthalten, allerdings versteckt, Informationen über die gesuchte Untergruppe. Die wahre Herausforderung besteht darin, diese Information aus den Nebenklassenzuständen zu extrahieren. Ein direktes Messen bringt nicht viel, da alle Gruppen-Elemente mit gleicher Wahrscheinlichkeit erscheinen.
Hier wird die QFT eingesetzt, die als eine Verallgemeinerung der klassischen Fouriertransformation auf Gruppen wirkt. Sie transformiert den quantenmechanischen Zustand in eine Basis, in der die Operationen, die Verschiebungen in der Gruppe repräsentieren, diagonal sind. In dieser Basis lassen sich dann leicht Abhängigkeiten und Strukturen der versteckten Untergruppe erkennen und extrahieren. Das Quantum Fourier Transform ist damit sozusagen der Schlüssel, mit dem man das Verborgene Untergruppenproblem öffnet. Für abelsche Gruppen, also Gruppen deren Operationen kommutativ sind, ist das QFT gut definiert und effizient implementierbar.
Die Konstruktion beruht darauf, die Charaktere der Gruppe zu bestimmen – das sind spezielle, gruppenhomomorphe Funktionen in den Einheitskreis der komplexen Zahlen. Spannend ist, dass jede abelsche Gruppe isomorph zu einem Produkt zyklischer Gruppen ist, und somit das QFT als Produkt von Fouriertransformationen auf diesen einfacheren Bausteinen realisiert werden kann. Simon’s Problem spielt sich auf der abelschen Gruppe (Z/2)^N ab, die man als Bitstrings mit XOR-Verknüpfung versteht. Die QFT auf dieser Gruppe ist äquivalent zum n-Fachen Hadamard-Transform, was für Quantencomputer sehr einfach umzusetzen ist. Diese Eigenschaft ist ein Grund, warum Simon’s Algorithmus praktisch schnell ausgeführt werden kann und mit der QFT den gesuchten geheimen Bitstring bestimmt.
Analog dazu konstruiert Shor’s Algorithmus für das diskrete Logarithmusproblem das QFT auf der Gruppe Z/(p−1) × Z/(p−1), welche ein Produkt zyklischer Gruppen ist. Durch mehrfache Anwendungen des QFT und Messungen entstehen lineare Gleichungssysteme, deren Lösung auf effiziente Weise den diskreten Logarithmus liefert. Die Effizienz des Algorithmus hängt dabei unter anderem auch von der Möglichkeit ab, den QFT auf der zugrundeliegenden Gruppe zügig zu implementieren, was bei Primfaktoren aus praktischen Gründen gut gelingt. Die Wichtigkeit des Verborgenen Untergruppenproblems im Kontext von Quantencomputing lässt sich auch an seiner Generalität ablesen. Fast alle bedeutenden bekannten Quantengeschwindigkeitsverbesserungen bei Problemen, die klassisch schwer sind, können als spezielle Fälle oder Varianten des HSP betrachtet werden.
Damit ist das HSP nicht nur ein isoliertes Konzept, sondern ein fundamentales mathematisches Gerüst, das der Quantenalgorithmik zugrunde liegt. Aus diesem Grund forschen Wissenschaftler auch heute noch intensiv an effizienten Methoden zur Lösung des HSP für nicht-abelsche Gruppen, die das Einsatzgebiet von Quantencomputern weiter ausdehnen könnten. Die praktische Umsetzung der QFT und damit der gesamten Standardmethode bedeutet allerdings hohe Anforderungen an die Quantenhardware. Die präzise Kontrolle und kohärente Manipulation von Qubits, die Kontrolle von Tiefen der Quantenschaltkreise und die Vermeidung von Fehlern sind technische Herausforderungen, denen sich die Quantencomputerindustrie aktiv stellt. Fortschritte wie verbesserte Qubit-Designs, fortgeschrittene Fehlerkorrekturprotokolle und optimierte Schaltkreisarchitekturen treiben das Feld voran und nähern uns an leistungsfähige Quantenrechner, die diese theoretischen Algorithmen tatsächlich ausführen können.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Verborgene Untergruppenproblem das Herzstück vieler bahnbrechender Quantenalgorithmen bildet. Seine Lösung führt zu einer signifikanten Verringerung der Berechnungszeit klassischer Herausforderungen wie der Zahlenfaktorisierung und diskreter Logarithmen. Die Quanten Fourier Transformation als zentrales Werkzeug ermöglicht es, versteckte strukturelle Informationen innerhalb von Gruppen effizient zu extrahieren. Mit dem Fortschritt der Quantenhardware und der weitergehenden Erforschung von HSP-Varianten könnten die Anwendungen, die heute noch als theoretisch gelten, in naher Zukunft praktische Realität werden und viele Bereiche tiefgreifend verändern.
